<T->
          Projeto Radix
          Matemtica 8 ano
 
          Jackson Ribeiro

          Impresso Braille em 
          11 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, Editora 
          Scipione S.A., So 
          Paulo, 2011. 
          
          Stima Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350/368
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<P>
          Ttulo original: Projeto 
          Radix -- Matemtica -- 8 ano
          Copyright (C) 
          Jackson Ribeiro

          ISBN 978-85-2627303-0

          Gerncia editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Carlos Augusto Rodrigues Lima

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar intermedirio ala "B" Freguesia do 
          CEP 02909-900 -- 
          So Paulo -- SP
          Caixa Postal 007
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          E-mail: ~,scipione@scipione.~ 
          com.br~,
<P>
                                I
Sumrio

Stima Parte

Mdulo 7

<F->
Captulo 11 -- Tringulos 
Para comear ::::::::::::::: 659 
Tringulos e seus 
  elementos ::::::::::::::::: 661  
Lados e ngulos do 
  tringulo ::::::::::::::::: 673 
Tringulos congruentes ::::: 686
Pontos notveis de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 700 
Complementando... :::::::::: 712
Algo a mais :::::::::::::::: 718 
  O teorema de Napoleo 

Captulo 12 -- 
  Quadrilteros 
Para comear ::::::::::::::: 721 
Quadrilteros e seus 
  elementos ::::::::::::::::: 722 
Paralelogramo :::::::::::::: 732
Trapzio ::::::::::::::::::: 748 
Complementando... :::::::::: 755 
Algo a mais :::::::::::::::: 760 
  A geometria em diferentes 
  contextos 
 Atividades de reviso ::::: 762 
 Lendo textos :::::::::::::: 782 
  Astrnomos desenham 
  tringulos no cu
<F+>
<196>
<tp. radix mat. 8>
<T+659>
Mdulo 7

Captulo 11 -- Tringulos 

<R+>
_`[{mapa do Tringulo das Bermudas. Nele consta o desenho de um tringulo aps a ligao dos pontos de Washington, Porto Rico e Ilhas das Bermudas_`]
 Legenda: Adaptado de *Atlas geogrfico escolar*. Rio de Janeiro: IBGE, 2007. 
<R->

Para comear
 
  Conhecido por ser um lugar cheio de mistrios, o Tringulo das Bermudas 
 uma regio imaginria (veja acima) que no aparece nos mapas 
oficiais e fica localizada no oceano Atlntico entre as ilhas Bermudas, a 
costa do Sudeste dos Estados Unidos e a cidade de San Juan, em Porto 
Rico. Alguns dos mistrios esto relacionados a diversos registros de 
desaparecimentos de navios e avies que no foram bem explicados. 
  A fama por ocorrer fenmenos inexplicveis no Tringulo das Bermudas 
tomou grandes propores no ano de 1945, quando 5 avies da 
marinha dos Estados Unidos desapareceram sem deixar vestgios. 
Vrias investigaes sobre este caso e outros parecidos renderam 
histrias contadas em livros, no cinema e em programas de televiso. 
  Apesar de existir inmeros mitos sobre o local, alguns cientistas 
encontram explicaes cientficas aceitveis para as desaparies. 
Especialistas dizem que h exagero em torno do assunto, pois em 
muitos casos, fenmenos naturais comuns, como tempestades, 
explicariam alguns naufrgios, por exemplo. 

<R+>
1. Voc conhece alguma outra regio que lembra o formato de um 
tringulo ou recebe o nome dessa forma geomtrica? Qual? 
 2. Quais pontos indicariam os vrtices do Tringulo das Bermudas? 
<R->

<197>
Tringulos e seus elementos 

  Voc j deve ter estudado anteriormente que tringulo  o polgono que possui a menor quantidade de lados. Agora vamos conhecer outros elementos e propriedades dos tringulos. 

Saiba que... 

  Tringulo  um polgono que tem 3 lados, 3 vrtices, 3 ngulos internos e 3 ngulos externos. 
  Observe o tringulo {a{b{c e alguns de seus elementos. 
<P>
<F->
            
        C  :f 
           
            
         :c 
              
               
 :d  :a   :b 
 ----------------u B
   A          :e 
                    
<F+>
tringulo {a{b{c
 lados: ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e 
  ^c?{a{c*
 vrtices: {a, {b e {c
 ngulos internos: :a, :b e :c
 ngulos externos: :d, :e e :f 

  No tringulo {a{b{c anterior, o lado ^c?{b{c*  chamado lado oposto ao ngulo :a, do mesmo modo, o ngulo :a  chamado ngulo oposto ao lado ^c?{b{c*. 
  Agora, observe algumas formas construdas com palitos de sorvete e tachinhas.
<P>
<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]

I) tringulo sem deformao.
 II) Quadrado com duas deformaes.
 III) Pentgono com duas deformaes.
<R->

  Note que a forma triangular  a nica que no permite ser deformada. Essa caracterstica  conhecida como rigidez do tringulo. 
  Com as demais formas,  possvel obter outras variando seus ngulos internos. 
<198> 
  A caracterstica de rigidez do tringulo  o motivo pelo qual as estruturas triangulares so usadas, por exemplo, em objetos e construes. 

<R+>
_`[{duas fotos descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Tringulo de sinalizao.
 Legenda 2: Estrutura de madeira de uma cobertura.
<R->

  A medida de cada lado de um tringulo  sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Assim, se considerarmos trs segmentos de reta em que um  maior que a soma dos outros dois, no podemos formar um tringulo com esses segmentos. 

Construo possvel 

<F->
            C       
           ^
 3,1 cm ^    2,8 cm
       ^      
     ^         
   ------------u
   A   3,7 cm  B 
<F+>

med`(^c?{a{b*`)<med`(^c?{b{c*`)+
  +med`(^c?{a{c*`)
 med`(^c?{b{c*`)<med`(^c?{a{b*`)+
  +med`(^c?{a{c*`)
med`(^c?{a{c*`)<
  <med`(^c?{a{b*`)+med`(^c?{b{c*`)
<P>
Construo impossvel

_`[{figura no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Atividades

<R+>
1. Nomeie em seu caderno os lados, os vrtices, os ngulos in-
  ternos e os ngulos externos de cada tringulo. 
<R->

<F->
    l
    l :i
 F r
    l ^
    l   ^
    l :f ^
    l       ^
    l         ^
    l           ^
:g l :c     :d ^ D
::::h:::::::::::::::j
   C             :h ^
 
                 _
                 _
                _ O
              ^ _ 
            ^   _
          ^ :o _
        ^       _
      ^         _
 M ^ :m    :n_ :q
  -------------#-----
^ :p          N
<F+>

<R+>
2. Em seu caderno, copie e complete, substituindo cada lacuna pela palavra adequada. 
 a) Em um tringulo a interseo dos lados  chamada '''
 b) O contorno de um tringulo  composto de ''' segmentos de reta. 
 c) Qualquer polgono que possui trs lados  chamado '''
 d) Um tringulo sempre possui ''' vrtices. 
<R->

<199>
<R+>
3. Observe os tringulos a seguir e determine o lado oposto ao ngulo reto. 
<R->
<F->
a)

  A
  r
  l ^
  l   ^
  l     ^
  l       ^
  r::      ^
  l_-_        ^
  h::j::::::::::h
 B             C  

b)

      D
      
       ^
         ^
           ^
             ^
 ---------------
E               F
<P>
c)

 G
 .
 l
 l   
 l  
 l   
 l    
 l     
 r::   
 l_-_    
 h::j:::::h
I        H 
<F+>

<R+> 
4. De acordo com as indicaes do tringulo {a{b{c, responda: 
<R->

<F->
           A
           ^
         ^   ^
       ^  :a  ^
     ^           ^
   ^ :b       :c ^
 --------------------
B                     C
<F+>
<P>
<R+>
a) Qual  o ngulo oposto ao lado ^c?{a{c*?  
 b) Qual  o lado oposto ao ngulo :a? 
<R->

<R+>
5. Paula precisa construir uma maquete, e para 
fazer a estrutura do telhado de uma casa, pretende 
construir tringulos com 3 palitos, de medidas 
7 cm, 5 cm e 2 cm. Com estas medidas  
possvel construir um tringulo? Por qu? 
<R->
<R+>
 6. Um serralheiro dispe de barras de ferro com 
9 m, 12 m e 3 m de comprimento. Cite algumas 
combinaes entre essas bar-
  ras, em que  possvel construir tringulos. 
<R->

<R+>
 7. Quais dos quadros a seguir apresentam medidas 
de segmentos de reta com os quais  possvel 
construir um tringulo? 
<R->
<P>
<F->
A: 
med`(^c?{a{b*`)=8 cm 
med`(^c?{b{c*`)=3 cm 
 
B: 
med`(^c?{d{e*`)=7,2 cm 
med`(^c?{e{f*`)=2,8 cm 
med`(^c?{d{f*`)=12 cm

C: 
med`(^c?{g{h*`)=6 cm 
med`(^c?{h{i*`)=4,2 cm 
med`(^c?{g{i*`)=3,5 cm 

D: 
med`(^c?{n{p*`)=5,5 cm 
med`(^c?{n{o*`)=2 cm 
med`(^c?{o{p*`)=4,8 cm

E: 
med`(^c?{j{l*`)=6,8 cm 
med`(^c?{l{m*`)=6,2 cm 
med`(^c?{j{m*`)=12 cm 
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
8. Observe os tringulos a seguir e escreva em seu caderno a 
  menor e a maior medida inteira possveis para *x*. 
<R->

<F->
      C
       r
       l ^
       l   ^
       l     ^ x
 2 cm l       ^
       l         ^
       l           ^
       l             ^ 
       h:::::::::::::::h 
       A   6 cm     D
<P>
         H
          '
          ^
            ^
 3 cm        ^ 5 cm
                ^
                  ^
                    ^
   -------------------"
  I        x          G 

         F
          '
          ^
            ^
 3 cm        ^ 4 cm
                ^
                  ^
                    ^
   -------------------"
  D        x          E 
<P>
       L
       r
       l ^
       l   ^
       l     ^ x
 1 cm l       ^
       l         ^
       l           ^
       l             ^ 
       h:::::::::::::::h 
       J   4 cm     K
<F+>

<200>
Lados e ngulos do tringulo 

  Os tringulos podem ser classificados de acordo com as medidas 
dos lados e de acordo com as medidas dos ngulos. 
 Quanto s medidas dos lados 

<F->
<R+>
Equiltero: Tringulo que tem todos os lados com medidas iguais.
<R->
<P>  
<F->
     C
     
      
       
        
 --------u
A        B 
<F+>

med`(^c?{a{b*`)=med`(^c?{b{c*`)=
  =med`(^c?{a{c*`)

<R+>
Issceles: Tringulo que tem pelo menos dois lados com medidas iguais.
<R->

<F->
           F
           ^
         ^   ^
       ^       ^
     ^           ^
   ^               ^
 --------------------
D                     E
<F+>

med`(^c?{d{f*`)=med`(^c?{e{f*`)
<P>
<R+>
Escaleno: Tringulo que tem os trs lados com medidas diferentes.
<R->

<F->
          I
         ^
       ^   
     ^      
   ^         
 ------------u
G             H
<F+>

med`(^c?{g{h*`)=med`(^c?{h{i*`)=
  =med`(^c?{i{g*`)
<P>
 Quanto s medidas dos ngulos 

<R+>
Acutngulo: Tringulo que tem trs ngulos internos agudos.
<R->
 
<F->
       M
        '
        ^
      :m ^
            ^
              ^
                ^
   :j        :l ^
 -------------------"
J                    L 
<F+>

med:{j<90}
 med:{i<90}
 med:{m<90}
<P>
<R+>
Retngulo: Tringulo que tem um ngulo reto.
<R->

<F->
  P
  r
  l ^
  l   ^
  l:p  ^
  l       ^
  l        ^
  r:: :o   ^
  l_-_      :n^
  h::j::::::::::::h
  O              N  
<F+>

med:o=90}
<P>
<R+>
Obtusngulo: Tringulo que tem um ngulo obtuso. 
<R->

<F->
S
  e    
   e^
    e ^
     e  ^
      e:s^
       e    ^
        e     ^
         e      ^      
          e       ^
           e        ^
            e:q   :r^
             e::::::::::h 
            Q          R
<F+>

90}<med:{q<180}
 
<201>
  Como j estudamos, em qualquer polgono a soma das medidas dos ngulos externos  sempre igual a 360}. O mesmo acontece com os tringulos. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Podemos verificar tambm que, em cada vrtice, a soma da medida 
do ngulo interno e do ngulo externo  igual a 180}. 

Atividades 

<R+>
9. Observe os tringulos representados a seguir e classifique-os, no caderno, quanto s medidas dos lados.
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
1: med^c?{a{b*=4 m; 
  med^c?{b{c*=3 m; 
  med^c?{a{c*=3 m
 2: med^c?{n{p*=3 m;
   med^c?{n{o*=3 m;
   med^c?{o{p*=3 m
 3: med^c?{d{e*=6 m; 
  med^c?{e{f*=2,8 m; 
  med^c?{d{f*=8,3 m
 4: med^c?{j{l*=5,3 m; 
  med^c?{l{m*=7,5 m; 
  med^c?{m{j*=3,8 m
<P>
 5: med^c?{g{h*=4 m; 
  med^c?{h{i*=5,8 m; 
  med^c?{g{i*=4 m
 6: med^c?{q{r*=4 m; 
  med^c?{r{s*=4,8 m; 
  med^c?{q{s*=4,8 m

10. Responda s questes em seu caderno. 
 a) Quando um tringulo  chamado issceles?  
 b) Quais so as medidas dos outros dois lados de um tringulo equiltero que possui um lado medindo 5 cm? 
 c) A soma das medidas dos lados de um tringulo escaleno  15 cm. Escreva possveis medidas inteiras para os lados desse tringulo. 
 d) Como  classificado quanto s medidas dos lados um tringulo com lados medindo 3 cm, 5 cm e 5 cm? 
<R->

<R+>
11. Sabendo que os tringulos a seguir so equilteros, determi-
<P>
  ne o valor de *x* em cada um deles. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
1: med^c?{a{b*=x+6; 
  med^c?{a{c*=2x+4
 2: med^c?{d{e*=x; 
  med^c?{e{f*=4x-18
 3: med^c?{i{g*=x+3; 
  med^c?{i{h*=3x-5
<R->

<202>
<R+>
12. Classifique em seu caderno cada tringulo em acutngulo, retngulo ou obtusngulo.
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

1: :a=37}; :b=53}; :c=90}
 2: :g=45}; :h=43}; :i=92} 
 3: :n=60}; :o=60}; :p=60}
 4: :d=100}; :e=45}; :f=35}
 5: :j=62}; :l=43}; :m=75}

<R+>
13. Construa em seu caderno tringulos com as medidas apresentadas a seguir. 
<P>
Tringulo {a{b{c: 
  med^c?{a{b*=8,7 cm; 
  med^c?{b{c*=5 cm; 
  med^c?{a{c*=12,4 cm
 Tringulo {d{e{f: 
  med^c?{d{e*=8 cm; 
  med:d=60}; 
  med^c?{d{f*=8 cm
 Tringulo {g{h{i: 
  med^c?{g{h*=8 cm; 
  med:g=43}; 
  med:h=94}
 Tringulo {j{l{m: 
  med:j=90}; 
  med:l=30}; 
  med:m=60}

Veja, no *Caderno de recursos*, como construir tringulos utilizando transferidor, rgua e compasso. 
<R->

<R+>
Realize as medies necessrias e classifique cada um dos tringu-
<P>
  los que voc construiu quanto s medidas dos lados e dos ngulos. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
14. Determine a medida desconhecida de cada ngulo nos tringulos a seguir e escreva-as no caderno. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
1: Tringulo {a{b{c ngulos internos: med:a=41}; med:b= 
  =87} e med:c=:c; 
 ngulos externos: med:a=:d; med:b=:e e med:c=:f
 2: Tringulo {d{e{f ngulos internos: med:d=:d; med:e= 
  =:e e med:f=:f; 
 ngulos externos: med:d=111}; med:e=:g e med:f=113}
 3: Tringulo {n{o{p ngulos internos: med:n=38}; med:o= 
  =:o e med:p=:p; 
 ngulos externos: med:n=:r; med:o=74} e med:p=:q
<R->

<203>
<R+>
15. Calcule as medidas dos ngulos internos de cada tringulo e escreva-as em seu caderno. Em seguida, classifique os tringu-
  los quanto s medidas de seus ngulos internos. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
o Tringulo {a{b{c: med:a= 
  =7x+30}; med:b=25} e 
  med:c=8x+50}
 o Tringulo {d{e{f: med:d= 
  =2x; med:e=60}-x e 
  med:f=3x
 o Tringulo {g{h{i: med:g=
  =11x; med:h=7x+31} e 
  med:i=30x+5}
<R->

<R+>
16. Copie em seu caderno as afirmaes corretas sobre os tringulos a seguir: 
<R->
<P>
_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
o Tringulo {d{e{f ngulos internos: med:d=61}; 
  med:e=:e e med:f=39}
 o Tringulo {j{l{m ngulos internos: med:j=52}; med:l= 
  =90} e med:m=:m
 o Tringulo {n{o{p ngulos internos: med:n=med:o=
  =med:p=3,5 cm
 o Tringulo {a{b{c ngulos internos: med:a=52}; 
  med:b=47}; med:c=:c
 o Tringulo {g{h{i ngulo interno: med:h=15}, 
  med^c?{g{i*=med^c?{h{i*=
  =3,2 cm

 a) O ngulo :c mede 80}.
 b) O ngulo :e mede 80}.
 c) O tringulo {n{o{p  equiltero. Seus ngulos internos medem 60}.
 d) As medidas dos ngulos :g e :i so 15} e 20} respectivamente.
 e) O ngulo :m do tringulo {j{l{m mede 38}.
<R->

<R+>
17. Determine as medidas de cada ngulo interno e externo do tringulo a seguir e escreva-as no caderno. 
<R->

_`[{figura adaptada_`]

<R+>
Tringulo {a{b{c ngulos internos: med:a=:a; med:b=:b e med:c=:c; 
  ngulos externos: med:a=:e; med:b=:f e med:c=:g
<R->
<204>

Tringulos congruentes 

  Observe as medidas dos lados e dos ngulos dos tringulos a seguir. 
<P>
<F->
           C
            '
            ^
              ^
 3,5 cm  79}  ^ 4,3 cm
                  ^
                    ^
       58}      43} ^
     -------------------"
    A       5 cm       B 

           F
            '
            ^
              ^
 3,5 cm  79}  ^ 4,3 cm
                  ^
                    ^
       58}      43} ^
     -------------------"
    D       5 cm       E 
<F+>

  Note que esses dois tringulos possuem lados e ngulos correspondentes com medidas iguais. Nesse caso, dizemos que os tringulos {a{b{c e os tringulos {d{e{f so congruentes e indicamos por: tringulos {a{b{c=={d{e{f. 
  Para indicar que dois lados ou dois ngulos so congruentes, utilizamos as seguintes notaes. 

<F->
     C
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
A             B 

     F
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
D             E 
<F+>
<P>
<F->
lados               l ngulos
::::::::::::::::::::r::::::::::
^c?{a{b*==^c?{d{e*  l :a==:d
^c?{b{c*==^c?{e{f*  l :b==:e
^c?{a{c*==^c?{d{f*  l :c==:f
<F+>

  Quando dois ou mais tringulos so congruentes, eles possuem a mesma forma e o mesmo tamanho. 
  Para verificar se dois tringulos so congruentes, no precisamos medir todos os lados e todos os ngulos dos tringulos. Determinando as medidas dos lados e ngulos especficos, podemos garantir se dois tringulos so ou no congruentes. 
  Veja os casos em que dois tringulos so congruentes. 
  Quando dois tringulos tm os trs lados respectivamente congruentes, esses tringulos so congruentes. 
<P>
<F->
      C
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
A             B

     F
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
D             E 

{a{b{c=={d{e{f
<F+>

  Este  o caso de congruncia lado, lado e lado ({l{l{l). 
<205>
  Quando dois tringulos tm os dois lados e o ngulo compreendido entre eles respectivamente congruentes, esses tringulos so congruentes. 

<F->
      C
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
A             B 

     F
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
D             E 

{a{b{c=={d{e{f

  Este  o caso de congruncia lado, ngulo e lado ({l{a{l). 
  Quando dois tringulos tm um lado e dois ngulos a esse lado adjacentes respectivamente con-
gruentes, esses tringulos so congruentes. 

<F->
      C
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
A             B 

     F
      '
      ^
        ^
          ^
            ^
 -------------"
D             E 
<F+>

{a{b{c=={d{e{f

  Este  o caso de congruncia ngulo, lado e ngulo ({a{l{a). 
  Quando dois tringulos tm um lado, um ngulo adjacente e um ngulo oposto a esse lado respecti-
vamente congruentes, esses tringulos
so congruentes.
<P>
<F->
                C
                w 
              ^ _ 
            ^   _
          ^     _
        ^       _
      ^         _
    ^           _ 
  -------------#
  A            B

                F
                w 
              ^ _ 
            ^   _
          ^     _
        ^       _
      ^         _
    ^           _ 
  -------------#
  D             E
<F+>

{a{b{c=={d{e{f

  Este  o caso de congruncia lado, ngulo e ngulo oposto ({l{a{ao).

  O fato de dois tringulos possurem todos os ngulos congruentes no  
suficiente para garantir que esses tringulos sejam congruentes, pois seus 
lados podem possuir medidas diferentes.

<F->
         C
         ^
           ^
 6 cm  80} ^ 6,4 cm
               ^
                 ^
                   ^
    52}        48} ^
  ---------------------u
 A       8 cm         B

         C
         ^
           ^
 3 cm  80} ^ 3,2 cm
               ^
      52}  48} ^
    ---------------u
   A    4 cm      B
<F+>
<P>
<206>
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 18 a 22, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
18. Realize as medies necessrias e verifique se os tringu-
  los _`[no adaptados_`] so congruentes. 
 19. Em cada figura _`[no adaptada_`]  possvel destacar dois tringulos congruentes. Escreva no caderno, qual caso voc utilizou para verificar a congruncia desses tringulos. 
 20. Entre os tringulos da malha pontilhada _`[no adaptados_`] quais so congruentes? 
<207>
 21. O tringulo {d{e{f foi obtido por meio de uma reflexo do tringulo {a{b{c em relao ao eixo *e* e o tringulo {g{h{i foi obtido por meio de uma rotao do tringulo {d{e{f em relao ao ponto O. 
<R->

_`[Figuras no adaptadas_`]

<R+>
Esses tringulos so congruentes? Se sua resposta for afirmativa, quais so os lados e os ngulos congruentes desses tringulos? 
<R->
<R+>
 22. Construa os tringulos cujas medidas esto indicadas a seguir. 
<R->
 
{a{b{c
 med^c?{a{c*=7,3 cm
 med:c=60}
 med^c?{a{b*=7,3 cm

{d{e{f
 med^c?{e{f*=3 cm
 med^c?{d{e*=3,5 cm
 med^c?{f{d*=5,1 cm

{t{u{v
 med:t=56}
 med^c?{t{u*=6,2 cm
 med:v=73}

{j{l{m
 med^c?{l{m*=3 cm
<P>
 med:i=103}
 med^c?{j{l*=3,5 cm

{n{o{p
 med^c?{n{o*=6,2 cm
 med:o=51}
 med:n=56}

{q{r{s
 med^c?{q{r*=7,3 cm
 med^c?{r{s*=7,3 cm
 med^c?{q{s*=7,3 cm 

<R+>
Agora, escreva no caderno quais so os pares de tringulos congruentes. 
<R->

<R+>
Desafio
 23. Quais dos tringulos a seguir so congruentes ao tringulo cujas medidas aparecem no quadro? 
<R->

_`[{quadro adaptado_`]

{a{b{c
 med^c?{a{b*=4,1 cm
<P>
 med:a=58}
 med:c=56}

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
            F
            
             
              
 4,1 cm  66}  4,2 cm
                
                 
                  
      58}    56} 
    ----------------u
    D    4,5 cm    E

            I
            
             
              
 4,2 cm  56}  4,5 cm
                
                 
                  
      66}    58} 
    ----------------u
    G    4,1 cm    H
<P>
             M
             ^
           ^   ^
 3,9 cm ^ 72}  ^ 3,8 cm
       ^           ^
     ^               ^
   ^ 53}         55} ^
 ------------------------
J        4,5 cm          L
<F+>

<R+>
a) Qual  a medida do lado ^c?{b{c* do tringulo {a{b{c?  
 b) Qual  a medida do ngulo :b e do lado ^c?{a{c* do tringulo {a{b{c? 
<R->

<208>
<R+>
_`[{para as atividades 24 e 25, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
24. Na pirmide representada a seguir foram destacados dois dos ngulos formados por suas arestas. 
 Observe as medies desses ngulos e dessas arestas. 
<P>
 Os tringulos representados pelas faces {a{b{e e {a{d{e dessa pirmide so congruentes? 
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
25. Realize as medies necessrias e verifique em qual figura aparecem tringulos congruentes. 
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

<209>
Pontos notveis de um tringulo

  Agora, vamos determinar alguns pontos especiais em tringulos traando suas medianas, bissetrizes, alturas ou mediatrizes. 

Medianas de um tringulo 

  Mediana de um tringulo  o segmento de reta que tem uma extremidade em um vrtice do tringulo e a outra no ponto mdio do lado oposto a esse vrtice. 
<P>
<F->
        C      
        
       _
       _ 
       _  
       _   
       _    
       _     
 ------#------u
A     D      B
<F+>

^c?{c{d*  a mediana relativa 
  ao lado ^c?{a{b*

<R+>
Veja, no *Caderno de recursos*, como traar as medianas de um tringulo utilizando rgua e compasso. 
<R->

  Observe o tringulo _`[no adaptado_`] com todas as suas medianas traadas. Note que elas se cruzam em um mesmo ponto. Esse ponto  chamado baricentro do tringulo.
  O baricentro _`[no adaptado_`] representa o centro de equilbrio de um tringulo. Podemos verificar isso desenhando um tringulo qualquer em um papel grosso, obtendo o seu baricentro e suspendendo-o com um barbante preso ao baricentro. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<210>
Bissetrizes de um tringulo

  Bissetriz de um tringulo  o segmento de reta que tem extremidade em um vrtice do tringulo, dividindo o ngulo desse vrtice em dois ngulos congruentes. A outra extremidade do segmento toca o lado oposto ao vrtice. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
Veja, no *Caderno de recursos*, como traar as bissetrizes de um tringulo utilizando rgua e compasso. 
<R->

  No tringulo _`[no adaptado_`] foram traadas as bissetrizes relativas a todos os ngulos. Note que as bissetrizes se cruzam em um mesmo ponto, chamado incentro do tringulo. 
  Podemos traar uma circunferncia inscrita no tringulo com centro no incentro. Para isso, traamos uma reta perpendicular a qualquer lado do tringulo passando 
pelo incentro. Em seguida, fixamos a ponta seca de um compasso no incentro com abertura at o ponto em que a perpendicular toca o lado do tringulo e traamos a circunferncia. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<211>
Alturas de um tringulo 

  Altura de um tringulo  o segmento de reta com uma extremidade em um vrtice do tringulo e perpendicular ao lado oposto ou ao prolongamento desse lado. A outra extremidade 
do segmento toca o la-
do oposto do tringulo ou seu prolongamento. 

<R+>
Veja, no *Caderno de recursos*, como traar as alturas de um tringulo utilizando rgua e compasso. 
<R->

  No tringulo _`[no adaptado_`] foram traadas as alturas relativas a todos os lados. Note que, prolongando essas alturas, elas se cruzam em um nico ponto, chamado ortocentro do tringulo. 
  Observe o ortocentro indicado pela letra O em cada tringulo. _`[{no adaptado_`]    
  Em um tringulo acutngulo, as alturas se interceptam em um ponto no interior do tringulo. 
  Em um tringulo retngulo, duas alturas coincidem com os lados menores e se interceptam no vrtice do ngulo reto. 
  Em um tringulo obtusngulo, os prolongamentos das alturas se interceptam em um ponto exterior ao tringulo. 
<212> 
 Mediatrizes de um tringulo 

  Na imagem a seguir aparece um segmento {a{b com uma reta *r* perpendicular em seu ponto mdio. Essa reta  chamada mediatriz de ^c?{a{b*. 

<F->
            r
            l
            l
            l
            r::
            l_-_
A o:::::::r::j:::o B
            l
            l
            l
            l
<F+>

  Agora, veja as mediatrizes relativas a cada lado de um tringulo {a{b{c. 
<P>
<R+>
Veja, no *Caderno de recursos*, como traar as mediatrizes de um tringulo utilizando rgua e compasso. 
<R->

  A reta *r*  a mediatriz relativa ao lado ^c?{a{b*.
<F->

           r  C
           l ^
           l^   
         ^l     
       ^  l      
     ^    r::    
   ^      l_-_     
 --------v--#------u
A         l         B
<F+>

  A reta *s*  a mediatriz relativa ao lado ^c?{b{c*. 

_`[Figura no adaptada_`]

  A reta *t*  a mediatriz relativa ao lado ^c?{a{c*. 

_`[{figura no adaptada_`]

  Podemos traar todas as mediatrizes de um tringulo como mostra a figura. _`[No adaptada_`] Note que elas se cruzam em um mesmo ponto, chamado circuncentro do tringulo. 
  Fixando a ponta seca do compasso no circuncentro do tringulo com abertura at um de seus vrtices, podemos traar a circunferncia circunscrita ao tringulo. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<213> 
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 26 a 29, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
26. De acordo com as indicaes, classifique em seu caderno o segmento azul, traado em cada tringulo, em mediana, bissetriz ou altura. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

27. Calcule o permetro dos tringulos _`[no adaptados_`] sabendo que os segmentos verdes traados em cada um deles representam medianas. 
<R->
<R+>
 28. Sabendo que os segmentos traados em azul so bissetrizes dos tringulos, determine a medida de cada um de seus ngulos internos e escreva a resposta em seu caderno. 
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
29. O que as retas ou segmentos de reta traados em cada tringulo representam? E o que o ponto O em cada um deles representa? 
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
30. Copie e substitua cada lacuna por uma das palavras nas fichas a seguir. 
<P>
 _`[{fichas: circuncentro, ortocentro, baricentro, alturas, mediatrizes e medianas_`]

 a) O centro da circunferncia circunscrita  obtido pelo cruzamento das ''' do tringulo. 
 b) '''  o centro de equilbrio de um tringulo. 
 c) Nos tringulos obtusngulos o encontro das '''  sempre externo ao tringulo. 
 d) O ponto comum entre as mediatrizes  chamado ''' 
 e) '''  o nome dado ao encontro das alturas de um tringulo e o baricentro  obtido pelo cruzamento das ''' 
<R->

<R+>
31.  A professora de Matemtica do 8 ano pediu aos alunos que desenhassem um tringulo qualquer e 
determinassem seu circuncentro. Observe os tringulos desenhados por trs alunos. 

_`[Figuras no adaptadas_`]
<P>
 a) Realizando as medies necessrias, escreva qual deles obteve o circuncentro do tringulo.  
 b) Os pontos obtidos pelos outros dois alunos, nos tringulos desenhados por eles, representam o qu? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Atividades 

<R+>
32. Em seu caderno, copie as frases a seguir, corrigindo aquelas que apresentam informaes incorretas. 
 a) Para determinar o incentro de um tringulo, basta traar suas medianas. 
 b) Em um tringulo  possvel traar trs bissetrizes. 
 c) A bissetriz de um tringulo  o segmento de reta que liga um vrtice ao lado oposto, dividindo o ngulo correspondente em dois ngulos congruentes. 
 d) Em um tringulo, o segmento que liga um vrtice ao ponto m-
  dio do lado oposto  denominado altura. 
 e) O ortocentro  o ponto de encontro das alturas de um tringulo. 
 f) O encontro das mediatrizes de um tringulo  denominado circuncentro.
<R->

<R+>
_`[{para as atividades de 33 a 36, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
33. Realize as medies necessrias e escreva que ponto notvel est representado por O em cada tringulo retngulo. _`[{no adaptado_`] 
<R->
<R+>
 34. Que nome recebem os pontos O e P do tringulo {l{m{n? _`[{no adaptado_`]
 35. Determine o valor de *x* e *y* no tringulo {a{b{c, _`[no adaptado_`] sabendo que ^c?{b{e*  a bissetriz relativa ao ngulo :b, e ^c?{a{d*  a altura relativa ao lado ^c?{b{c*.   
<R->
<R+>
 36. Construa um tringulo equiltero, um issceles e um escaleno. Em seguida, desenhe as circunferncias inscrita e circunscrita a cada um deles. 
<R->

<216>
Complementando... 

<R+>
37. Observe o tringulo a seguir. 

<F->
                ~
               _
               _   
               _   
 2x+2 m    _ 6,2 m
               _ 
               _
               _
               _ 
       --------#
         4 m  

<F+>
  possvel que *x* seja igual a 5 m? Justifique sua resposta.
<R->
<P>
<R+>
 38. Qual das afirmaes a seguir no  verdadeira? 
 a) O tringulo a seguir  issceles e retngulo. 
<R->

<F->
  A      a        B  
   !::::::::::::::
   l_-_          ^
   r::j        ^
   l         ^
 a l       ^ 
   l     ^  b
   l   ^
   l ^
   r^
  C
<F+>

<R+>
b) O tringulo a seguir  escaleno e obtusngulo. 
<R->
<P>
<F->
                E
                w 
              ^ _ 
            ^   _
        e ^     _ d
        ^       _
      ^         _
    ^           _ 
  -------------#
 D      d      F
<F+>

<R+>
c) O tringulo a seguir  equiltero e acutngulo. 
<R->

<F->
          G
          
           
            
     c        c
              
               
                
                 
  ----------------u
 H       c       I
<F+>
<P>
<R+>
39. Responda aos itens a seguir. 
 a) Qual a diferena entre um tringulo acutngulo e um tringulo retngulo? 
 b)  possvel construir um tringulo que seja ao mesmo tempo obtusngulo e issceles? Justifique a sua resposta.
<R->

<R+>
_`[{para as atividades de 40 a 44, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
40. A partir de um nico vrtice foram traadas as diagonais de um pentgono regular e de um hexgono regular. 

_`[{figuras adaptadas_`]

Pentgono regular {a{b{c{d{e
 Do vrtice D partem duas diagonais ligando-se aos vrtices A e B.
<P>
 Hexgono regular {g{h{i{j{l{m
 Do vrtice L partem trs diagonais ligando-se aos vrtices G, H e I.

 a) Nomeie os tringulos obtidos em cada polgono. 
 b) Entre os tringulos obtidos, quais so congruentes?  
 c) Escreva o caso de congruncia que voc utilizou para garantir a congruncia desses tringulos.
<R->

<R+>
41. Sejam os tringulos {d{e{f, com ngulos medindo 55}, 75} e 50}, e {g{h{i, com ngulos medindo 55}, 75} e 50}. 
 possvel afirmar que os tringulos so congruentes? Por qu? 
<R->
<R+>
 42. Na imagem a seguir esto representados dois tringulos retngulos. 
<R->
<P>
<F->
  A
  r
  l ^
  l   ^
  l60} ^
  l       ^
  l         ^
  r::        ^
  l_-_          ^
  h::j::::::::::::h
  B             C  

                D
                w 
              ^ _ 
            ^   _
          ^     _ 
        ^       _
      ^      !::w
    ^ 30}   l_-_ 
  ----------v--#
  F            E
<F+>

^c?{a{b*=^c?{d{e*

<R+>
O tringulo {a{b{c e o tringulo {d{e{f so congruentes? Em caso afirmativo, qual caso foi utilizado para verificar a congruncia?
<R->
<R+>
43. Na imagem _`[no adaptada_`] o tringulo {a{b{c  equiltero 
e os vrtices do tringulo {d{e{f coincidem com 
os pontos mdios dos lados do tringulo {a{b{c. 
<R->
<R+>
 O tringulo {a{d{e  congruente ao tringulo {b{d{f? Justifique a sua resposta.
 44. Em cada tringulo, identifique o que as retas ou os segmentos de reta traados representam e o que o ponto O representa. 
<R->

_`[Figuras no adaptadas_`]

<217>
Algo a mais 

O teorema de Napoleo

  Napoleo Bonaparte (1769- -1821), um dos mais famosos generais dos tempos contemporneos, nasceu em Ajcio, na Crsega (Frana). 
De famlia pobre, mas dona de um ttulo de nobreza da Repblica de 
Gnova, aderiu  Revoluo Francesa e transformou-se em um dos 
principais estrategistas de guerra. Em 1793, com apenas 24 anos, 
tornou-se o mais jovem general do exrcito francs. 
  Napoleo Bonaparte era amigo de grandes matemticos franceses 
de sua poca. Influenciado pelo matemtico Lorenzo Mascheroni, 
Napoleo realizou alguns estudos ligados a construes geomtricas. 
  A mais famosa das contribuies que Napoleo trouxe  rea da geometria est 
citada no seguinte teorema: 

<R+>
Teorema de Napoleo: Os baricentros de trs tringulos equilteros, que tm como 
bases os lados de um tringulo qualquer, so vrtices de outro tringulo equiltero. 
<R->
<P>
  Para verificar esse teorema, desenhamos um tringulo qualquer e, a partir de seus 
lados, desenhamos trs tringulos equilteros. Em seguida, determinamos os baricentros 
dos trs tringulos equilteros. 
  Por ltimo, traamos segmentos de reta unindo os baricentros e obtemos outro 
tringulo equiltero. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
1. Quem foi Napoleo Bonaparte? 
 2. Como Napoleo Bonaparte se interessou pela Matemtica? 
 3. Que contribuio Napoleo trouxe  geometria? 
<R->

               oooooooooooo

<218>
<P>
Captulo 12 -- Quadrilteros

Para comear
 
  As bandeiras so smbolos representativos de pases, estados, 
municpios ou grupos sociais organizados. Elas so utilizadas, tambm, 
como instrumento de sinalizao: as bandeiras quadriculadas de preto 
e branco indicam, por exemplo, o fim de uma corrida de frmula 1; a 
bandeira branca simboliza a paz. 
  As cores e as formas de uma bandeira podem simbolizar caractersticas 
histricas de uma nao. Nossa Bandeira Nacional, por exemplo, traz 
as cores verde e amarela que esto associadas ao primeiro casal de 
imperadores: o verde est associado  casa real de Bragana,  qual 
pertencia o imperador D. Pedro I, e o amarelo,  casa imperial dos 
 Habsburgos, da qual fazia parte a imperatriz D. Leopoldina. Hoje, essas 
duas cores so conhecidas popularmente por simbolizarem as matas 
(riquezas naturais) e o ouro (riquezas minerais). 

<R+>
_`[{para as atividades de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
1. Quais formas geomtricas podem ser observadas na Bandeira Nacional? _`[{no adaptada_`]
 2. Quais as cores e formas geomtricas presentes na bandeira do seu estado? E do seu municpio? 
 3. Desenhe uma bandeira utilizando diferentes formas geomtricas em sua composio. 
<R->

<219>
Quadrilteros e seus elementos

  Jorge desenhou uma forma geomtrica espacial utilizando um programa de computador. Nesse programa, ele pode visualizar a figura em diferentes posies, como mostram as imagens. _`[No adaptadas_`]
  Note que as faces da forma geomtrica espacial que Jorge desenhou so polgonos de quatro lados, ou seja, quadrilteros. 

Saiba que... 

  Quadriltero  um polgono que tem 4 lados, 4 vrtices, 4 ngulos internos e 4 ngulos externos. 
  Os elementos de um quadriltero so: 
<R+>
 lados: ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{a{d*
 vrtices: A, B, C e D
 diagonais: ^c?{a{c* e ^c?{b{d*
 ngulos internos: :a, :b, :c e :d
 ngulos externos: :e, :f, :g e :h 
<R->

<220> 
  A soma das medidas dos ngulos internos de um quadriltero  igual a 360}, como 
estudado no captulo 6. Veja como podemos verificar a soma das medidas dos 
<P>
ngulos internos de um quadril-
tero. 

<F->
      ccccccccccccm
      :d    :c 
                
               
   :a    :b 
 ------------

                      
        D  :m  C   
          cccccccccccccc
     :h            :l 
                               
                          
                              
 :i                                
------------------------ B
   A                 :j 
<F+>

med`(:a`)+med`(:b`)+med`(:c`)+
  +med`(:d`)=360} 

  Veja tambm como podemos verificar que a soma das medidas dos ngulos externos de um quadriltero qualquer  igual a 360}. 
<F->
       D        C   
        cccccccc
                   
                             
                        
                            
                                  
  -------------------- 
 A                    B

                      
        D  :h  C   
          cccccccccccccc
     :h  :d  :c  :g 
                               
                          
                              
 :e  :a          :b              
------------------------ B
   A                 :f 
<F+>

med`(:i`)+med`(:j`)+med`(:l`)+
  +med`(:m`)=360}
<P>
Atividades 

<R+>
1. Nomeie em seu caderno os lados, os vrtices, os ngulos internos e os ngulos externos de cada quadriltero a seguir. 
<R->

<F->
1)
               
    D      :g 
 ccccccccccccccc C
  :h  :d   :c 
                  
                   
                    
                     
            :a   :b  :f
         A -----------------
              :e      B
              
<P>
2)
                       _
    H             :l _
 ccccccccccccccccccccc G
  :m  :h        :g _
                      _
                      _
                      _
                      _
            :e   :f _ :j
         E ----------#------
              :i    F
              

3)
                    _
     M         :p _
 cccccpccccccccccccc L
  :q l :m     :l _
      l             _
      l             _
      l             _
      l             _
      l :i     :j _ :o
   I v-------------#------
      l :n        J
      l        
<F+>

<R+>
 2. Copie, em seu caderno, somente as frases relacionadas a quadrilteros. 
 a) A soma das medidas de seus ngulos externos  360} e a so-
  ma das medidas dos ngulos internos  a metade de 360}. 
 b) Polgono que possui duas diagonais. 
 c) De cada um de seus vrtices partem duas diagonais. 
 d) A soma das medidas dos ngulos internos e a dos externos so iguais. 
 e) Traando uma de suas diagonais  possvel dividir esse polgono em dois tringulos. 
<R->

<R+>
3. Calcule o valor de *x* nos quadrilteros a seguir. Em seguida, determine a medida de cada um de seus ngulos internos. 
<R->
<P>
 1)

<F->
     D             C
ccccccpcccccccccccccc
 91} l      4x+77} 
      l                
      l                 
      l                  
      r::                
      l_-_                  112}
      v--#------------------u-----
     A                    B

2)

<F->
     H               G
      cccccccccccccccc^
      3x-31}   4x+5}^
                          ^
                            ^
   2x                 x+16} ^
 -------------------------------u
E                              F 
<F+>

<P>
<F->
3)
                              
     M                105} 
 ccccccccccccccccccccccccccm L
 112}                    
                         
                        
           x+64}       71}
           ------------------
           I         J

4)

Q                  P                
 pccccccccccccccccccc
 l 4x-18}  3x+61} 
 l                     
 l                      
 l                       
 l 92}                    137}
 v-------------------------u-----
N                         O
<P>
5)

            
 U     68} 
  ccccccccccc T
    x+33}    
                
                
 73}             100}
 ----------------------
      R          S
<F+>

<R+>
4. Efetue os clculos no caderno e obtenha a medida dos ngulos :a, :b, :c e :d.
<R->

_`[{figura no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
5. Determine as medidas dos ngulos internos do quadriltero a seguir de acordo com as dicas: 
 O menor ngulo interno mede 45}. 
 O ngulo :c mede 30} a mais que o ngulo :a.
 Os ngulos :b e :d possuem a mesma medida. 
<R->

<F->
         ^
           ^   
        :d  ^
               ^
             :c ^
                  
                 
   :a      :b 
 --------------
<F+>

<222>
Paralelogramo 

  Vimos na pgina 722 que Jorge desenhou uma forma geomtrica espacial utilizando 
um programa de computador. Aps desenhar a forma geomtrica espacial, ele utilizou 
recursos do programa para desmont-la e obter sua planificao. 
  As partes amarelas apresentadas 
<P>
na planificao correspondem a paralelogramos. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

Saiba que...

  Paralelogramo  um quadriltero que possui lados opostos paralelos. 
  No paralelogramo {a{b{c{d: 

<F->
    D          C
     cccccccccccm
               
              
             
 -----------
A          B

<R+>
 o lado ^c?{a{b*  paralelo ao lado ^c?{c{d* `(^c?{a{b*_l^c?{c{d*`); 
 o lado ^c?{a{d*  paralelo ao lado ^c?{b{c* `(^c?{a{d*_l^c?{b{c*`).  
<R->

  Em todo paralelogramo, as medidas dos lados opostos so iguais. 

    H          G
     cccccccccccm
               
              
             
 -----------
E          F

<R+>
 med`(^c?{e{f*`)=med`(^c?{g{h*`) 
 med`(^c?{f{g*`)=med`(^c?{e{h*`) 
<R->

  De maneira semelhante, as medidas dos ngulos opostos de um paralelogramo tambm so iguais. 

<F->
     H          G
     cccccccccccm
     :h   :g 
              
   :e   :f 
 -----------
E          F
<F+>

 med`(:e`)=med`(:g`) 
 med`(:g`)=med`(:h`) 
<P>
<223>
  Os paralelogramos podem ser classificados em retngulo, losango ou quadrado. 
  Retngulo  o paralelogramo que tem todos os ngulos retos. 

<F->
 M                L
 !::::::::::::::!::
 l_-_            l_-_
 r::j            h::w
 l                  _
 l                  _
 l                  _
 r::            !::w 
 l_-_            l_-_
 h::j::::::::::::h::j
 I                J
<F+>

  As diagonais de um retngulo tm medidas iguais. 

 med^c?{i{l*=med^c?{j{m*

  Losango  o paralelogramo que tem todos os lados com medidas iguais. 
<P>
<F->
                D
               ^
             ^   ^
           ^       ^
         ^           ^
       ^               ^
     ^                   ^
 A <                       > C
     ^                   ^
       ^               ^
         ^           ^
           ^       ^
             ^   ^
               ^^
                B

<F+>
  As diagonais de um losango so perpendiculares entre si e correspondem s bissetrizes dos ngulos internos. 
<P>
<F->
                H
               _
             ^ _ ^
           ^   _   ^
         ^     _     ^
       ^       _       ^
     ^         _         ^
E  <::::::::!::w:::::::::::> G
     ^      l_-_         ^
       ^    h::w       ^
         ^     _     ^
           ^   _   ^
             ^ _ ^
               ^_^
                F
<F+>

^c?{e{g* perpendicular a ^c?{f{h*

_`[{figura no adaptada_`]

<R+>
 ^c?{a{b*  a bissetriz relativa ao ngulo :e ou :g
 ^c?{a{b*  a bissetriz relativa ao ngulo :f ou :h
<R->

  Quadrado  o paralelogramo que tem todos os lados com medidas iguais e todos os ngulos retos. 
Por isso, o quadrado  um caso particular de losango e retngulo. 

<F->
 M          L
 !::::::::!::
 l_-_      l_-_
 r::j      h::w
 l            _
 l            _
 l            _
 l            _
 r::      !::w
 l_-_      l_-_
 h::j::::::h::j
 I          J 
<F+>

<224>
  As diagonais de um quadrado tm medidas iguais, so perpendiculares entre si e correspondem s bissetrizes dos ngulos internos. 
  H paralelogramos que no podem ser classificados como retngulo, losango ou quadrado. O paralelogramo {n{o{p{q a seguir  um deles. 
<P>
<F->
       Q       P
       cccccccccm
               
              
               
            
           
 ---------
 N       O
<F+>

<R+>
 med`(^c?{n{p*`)=med`(^c?{o{q*`)  
 ^c?{n{p* no  a bissetriz relativa ao ngulo :d ou :p 
 ^c?{o{q* no  a bissetriz relativa ao ngulo :o ou :q 
<R->

Atividades 

<R+>
6. De acordo com as medidas indicadas, verifique qual quadriltero a seguir  paralelogramo. 
<R->
<F->
<P>
      M     3,1 cm      L
       ccccccccccccccccccm
                        
 3,5 cm                3,5 cm
                      
                     
            --------
           I 2,5 cm J

        H   5,3 cm   G
         ccccccccccccccm
                      
 3 cm                3 cm
                    
     --------------
    E   5,3 cm   F

        H   5 cm    G
         ccccccccccccm
                    
 3 cm              3 cm
                  
     ------------
    E   5 cm   F
<F+>
<P>
<R+>
7. De acordo com o paralelogramo a seguir, escreva em seu caderno: 
<R->

<F->
        D           C
        ccccccccccccm
2 cm   117}        
                  
     ------------
    A           B
<F+>

<R+>
 a) a medida do lado ^c?{a{d*;  
 b) as medidas dos ngulos :a e :c;
 c) a medida do lado ^c?{a{b*, sabendo que o permetro desse paralelogramo  12 cm.  
<R->

<R+>
_`[{para as atividades de 8 a 10, pea orientao ao professor_`]

8. De acordo com o tangram _`[no adaptado_`] resolva os itens a seguir. 
 a) As peas que compem o 
  tangram representam que polgonos? 
<P>
 b) Qual desses quadrilteros possui ngulos retos? 
 c) Determine as medidas dos ngulos internos do quadriltero que no possui ngulos retos.  
<R->
<225>

<R+>
9. Construa os paralelogramos cujas medidas esto indicadas a seguir. Depois, verifique dentre 
os paralelogramos que voc construiu se h algum retngulo, losango ou quadrado. 
<R->

 paralelogramo {a{b{c{d
 med`(^c?{a{b*`)=7 cm
 med`(:a`)=62}
 med`(^c?{a{d*`)=5 cm

 paralelogramo {e{f{g{h
 med`(^c?{g{h*`)=4 cm
 med`(:g`)=46}
 med`(^c?{f{g*`)=5 cm

 paralelogramo {i{j{l{m
 med`(^c?{i{j*`)=6 cm
 med`(:i`)=110}
 med`(^c?{j{l*`)=3 cm
<P>
<R+>
Veja, no *Caderno de recursos*, como construir quadrilteros utilizando rgua, compasso e transferidor.
<R->

<R+>
10. Classifique, se possvel, cada paralelogramo desenhado na malha quadriculada em quadrado, retngulo ou losango. 
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
11. No caderno, calcule o valor de *x* em cada paralelogramo.
<R->
<P>
<F->
                D
               _
             ^ _ ^
           ^   _   ^
         ^     _60} ^
       ^       _       ^
     ^ x+8}   _         ^
 A <::::::::!::w:::::::::::> C
     ^      l_-_    30} ^
       ^    h::w       ^
         ^     _     ^
           ^   _   ^
             ^ _ ^
               ^_^
                B
<P>
 H              G
 !:::::::::::::::
 l_-_           ^_
 r::j         ^  _
 l          ^    _
 l        ^      _
 l      ^        _
 l    ^          _
 l  ^         !::w
 l^ x+19}    l_-_
 h:::::::::::::h::j
 E              F
<p>
           M
            
           _
           _ 
           _   
           _      
           _    
           _     
        !::w      
        l_-_ x+10}
I <:::::h::w::::::::> L 
           _       
           _      
           _      
           _    
           _   
          x_  
           _ 
           _
            ^
           J
<F+>

<R+>
12. Determine as medidas dos ngulos internos de cada paralelogramo. 
<R->
<P>
<F->
      D          C
      cccccccccccm
                
               
              
       109} 
 -----------
A          B

 H       G
 !:::::::::
 l         _
 l         _
 l         _
 l         _
 l 87}    _
 h:::::::::j 
 E       F 
<F+>
<P>
<F->
         
      L 128}
       
        
         
          
M          J
           
          
         
        
       
       I
<F+>

<226>
Trapzio 

  Na planificao que Jorge obteve ao desmontar a forma geomtrica espacial, aparecem, tambm, quatro partes em forma de quadriltero que no so paralelogramos. 
  As partes azuis apresentadas na planificao _`[no adaptada_`] correspondem a trapzios. 
<P>
Saiba que... 

  Trapzio  um quadriltero que tem somente dois lados paralelos. 
  No trapzio {a{b{c{d: 
<R+>
 o lado ^c?{a{b*  paralelo ao lado ^c?{c{d* `(^c?{a{b*`)_l`(^c?{c{d*`); 
 o lado ^c?{b{c* no  paralelo ao lado ^c?{a{d*. 
<R->
  Em um trapzio os lados paralelos so chamados bases. Nesse trapzio: 

<F->
     D    C
     cccccc
            
             
              
 --------------u
A              B
<F+>

 ^c?{a{b*  a base maior; 
 ^c?{c{d*  a base menor. 

  Um trapzio pode ser classificado em issceles, retngulo ou escaleno. 
  Trapzio issceles  aquele que tem os lados no-paralelos com medidas iguais. 

<F->
     H    G
     cccccc
            
             
              
 --------------u
E              F
<F+>

med^c?{e{h*=med^c?{f{g*

  Trapzio escaleno  aquele que tem os lados no-paralelos com medidas diferentes. 

<F->
          Q      P
         ccccccccc
       ^           
     ^              
   ^                 
 --------------------u
N                     O
<F+>

med^c?{n{q*=med^c?{o{p*
  Trapzio retngulo  um trapzio escaleno que tem um dos lados no-paralelos perpendicular s bases. 

<F->
 M             L
 pccccccccccccc
 l_-_             
 r::j             
 l                 
 l                  
 l                   
 r::                 
 l_-_                  
 v--#-------------------u
 I                     J
<F+>

<R+>
^c?{i{m*  perpendicular a ^c?{i{j* e a ^c?{l{m*
<R->

<227>
Atividades 

<R+>
13. Identifique e nomeie, no caderno, a base maior e a base menor de cada trapzio. 
<R->
<P>
<F->
  D            C
  cccccccccccccm
              
             
            
      -----
      A   B 

         G   F
         ccccc
       ^       
     ^          
   ^             
 ----------------
 H                E

 M        L
 pccccccccc
 l_-_         
 r::j           
 l             
 l              
 l               
 r::             
 l_-_              
 v--#---------------u 
 I                J
<F+>

<R+>
14. Classifique no caderno cada trapzio da malha quadriculada _`[no adaptada_`] em issceles, retngulo ou escaleno. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
15. Calcule o valor de *x* nos trapzios a seguir. Em seguida, determine a medida de cada um de seus ngulos internos. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
Trapzio {a{b{c{d com os ngulos internos medindo: x-25}, x, x+20} e x+45}.
 Trapzio {e{f{g{h com os ngulos internos medindo: x+45}, x+5}, x+5} e x+45}.
 Trapzio {i{j{l{m com os ngulos internos medindo: 90}, x+30}, x-30} e 90}.
<R->
<P>
<R+>
16. De acordo com as informaes, determine a medida dos ngulos internos de cada trapzio.
<R->

<F->
     D    C
     cccccc
            
             
              
 --------------u
A              B

med:a=med:b
  e med:c=115}

 H        G
 pccccccccc
 l_-_         
 r::j           
 l             
 l              
 l               
 r::             
 l_-_              
 v--#---------------u 
 E                F
<F+>

med:e=2med:f
<R+>
 17. Obtenha as medidas de ^c?{a{d* e ^c?{b{c*, sabendo que o trapzio  issceles e que seu permetro  16 m. 
<R->

<F->
     D    4 m   C        
     ccccccccccccc
                   
                    
                     
 ---------------------u
 A      7 m         B   
<F+>

<228>
Complementando... 

<R+>
18. Leia as informaes a seguir e copie em seu 
caderno apenas as verdadeiras. Depois, reescreva 
em seu caderno as informaes falsas 
tornando-as verdadeiras. 
 a) Quadriltero  um polgono que possui 2 diagonais. 
 b) A soma das medidas dos ngulos externos de um quadriltero  360}. 
<P>
 c) Losango  um paralelogramo cujos lados tm medidas diferentes. 
 d) Todos os ngulos internos de um retngulo so retos. 
 e) Trapzio  um quadriltero que possui lados opostos paralelos. 
<R->

<R+>
19. Qual  a medida dos ngulos internos de um 
paralelogramo em que a medida dos ngulos 
agudos correspondem  metade da medida dos ngulos obtusos?

20. Sabendo que o trapzio a seguir  issceles, escreva em seu caderno: 
<R->

<F->
        D           C        
        ccccccccccccc
 6 cm                
                       
      73}              
    ---------------------u
   A       13 cm        B  
<F+>
<P>
<R+>
 a) a medida do lado ^c?{b{c*; 
 b) a medida dos ngulos :b e :d; 
 c) a medida do lado ^c?{c{d*, sabendo que seu permetro  31 cm.  
<R->

<R+>
21. Determine as medidas *x*, *y* e *z* indicadas na figura. _`[No adaptada_`] 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
22. Resolva as questes a seguir no caderno. 
 a) As medidas dos trs ngulos de um quadriltero 
so 60}, 124} e 56}. Qual  a medida do quarto ngulo desse quadriltero?  
 b) Qual o nome do quadriltero que possui todas as medidas dos ngulos internos iguais? Qual  
  a medida de cada ngulo interno desse quadriltero? 
 c) Um quadriltero tem ngulos internos medindo *x*, x+10}, x+14}, x+4}. Quais so as medidas dos ngulos internos desse quadriltero? 

23. Sabendo que a figura a seguir representa um losango, responda s questes a seguir. 
<R->
<F->

                D
               _
             ^ _ ^
           ^   _   ^
         ^     _     ^
       ^       _       ^
     ^         _ :y     ^
 A <:::::::::::w:::::::::::> C
     ^         _    31} ^
       ^       _       ^
         ^     _     ^
           ^   _   ^
             ^ _ ^
               ^_^
                B
<F+>

<R+>
 a) Qual , em graus, a medida *y*? 
 b) Qual a medida dos ngulos internos deste losango? 
<R->

<R+>
24. (FACIA-SP) Na figura a seguir, os ngulos :a, :b, :c, :d medem, respectivamente x2, 2x, 3x2 e *x*. O ngulo :e  reto. Qual a medida do complemento de :f? 
<R->

_`[{figura no adaptada_`]

 a) 18} 
 b) 72} 
 c) 74} 
 d) 68}
 e) 16} 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<228> 
<P>
Algo a mais 

A geometria em diferentes 
  contextos 

  Alguns termos utilizados na geometria podem estar relacionados a diferentes contextos e atividades de nossa vida. Veja a seguir exemplos relacionados  Arte,  
Geografia e  Anatomia. 
  O termo trapzio est associado a uma arte circense, na qual artistas fazem 
acrobacias no ar. Essas acrobacias so realizadas em uma barra sustentada por duas 
cordas ou cabos de ao, com uma abertura um pouco maior que a barra, obtendo-se, 
assim, mais estabilidade para os movimentos. Essa formao lembra o contorno de 
um trapzio. 
  No corpo humano h um msculo que recebe o nome de trapzio. Responsvel, 
junto com outros msculos, pelos movimentos dos membros superiores, esse nome 
 dado ao msculo devido a sua forma lembrar a deste quadriltero. 
  Em um outro contexto, podemos destacar o Quadriltero 
Ferrfero, localizado na regio centro- -leste do estado de Minas Gerais, entre as cidades 
de Belo Horizonte, Santa Brbara, Mariana e Congonhas. Ao observarmos 
a regio denominada Quadriltero Ferrfero, destacada no mapa, podemos perceber que ela se 
assemelha a um quadriltero, originando seu nome. 
  O Quadriltero Ferrfero ocupa uma rea de aproximadamente 7.000 km2 e  considerada uma 
das regies mais ricas do Brasil em minrio de ferro.

<R+>
_`[{mapa do Quadriltero Ferrfero. Nele consta o desenho de um 
quadriltero aps a ligao dos pontos de Belo Horizonte, 
<P>
  Santa Brbara, Mariana e Congonhas_`]
<R->

<R+>
*Atlas geogrfico escolar*. Rio de Janeiro: IBGE, 2007. 
<R->

<R+>
1. No seu estado h alguma cidade ou regio cujo nome est relacionado a algum 
termo da Geometria que voc conhece? Em caso afirmativo, escreva esse nome. 
 2. Cite outros exemplos de termos da Geometria utilizados para nomear lugares, objetos, 
atividades etc. 
<R->

<230>
Atividades de reviso 

<R+>
1. No caderno, verifique se  possvel a construo 
de um tringulo cujos lados medem: 
 a) 3 cm, 5 cm e 8 cm; 
 b) 9 cm, 8,4 cm e 7 cm;  
 c) 4,5 cm, 1 cm e 2,3 cm;  
 d) 7 cm, 5 cm e 4 cm. 
<P>
2. Leia as informaes a seguir e copie em seu caderno 
aquelas que so verdadeiras. 
 a) Um tringulo  considerado equiltero, quando 
possui todos os ngulos iguais. 
 b) A soma das medidas dos ngulos externos de 
um tringulo  sempre igual  soma das medidas 
dos ngulos internos, que  igual a 180}. 
 c) Um tringulo que tem pelo menos dois lados 
com medidas iguais  chamado issceles. 
 d) Se um tringulo {a{b{c possui todos os ngulos 
internos iguais aos de outro tringulo {d{e{f, 
  ento estes so considerados congruentes. 
<R->

<R+>
3. Calcule, em metros, as medidas dos lados do tringulo issceles a seguir, sabendo 
que a medida da base corresponde  metade da medida do lado ^c?{b{c*. 
<R->
<P>
<F->
        C
        
         
 x+3     
           
            
   ----------u
   A  x-1  B
<F+>

<R+>
4. Determine o valor de *x* em cada tringulo. Em 
seguida, classifique cada tringulo em issceles, 
equiltero ou escaleno. 
<R->

<F->
       C
       
        
     60}
          
           
   x    60}
 ------------u
 A          B 
<P>
       F
       
        
     50}
          
           
   x      x 
 ------------u
 D          E 

         H
         ^
           ^ 
        80} ^
               ^
                 ^
                   ^ 
                     ^
   x              40} ^
 ------------------------u
 I                      G
<F+>

<R+>
_`[{para as atividades 5 e 6, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
5. Verifique se os tringulos a seguir so congruentes. 
<R->

<F->
       C
       
        
         
          
           
            
 ------------u
 A          B 

       F
       
        
         
          
           
            
 ------------u
 D          E 
<F+>

<R+>
 Qual(is) o(s) caso(s) de congruncia que voc utilizou para fazer a verificao? 
 6. O tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`]  issceles e o segmento {a{e  a bissetriz do ngulo :{a. Determine as medi-
<P>
  das dos ngulos :{a, :{b e :{c. 

7. No tringulo est traada uma de suas medianas. 
<R->

<F->
              C
             _
           ^ _ ^
         ^   _   ^ 
       ^     _     ^
     ^       _       ^
   ^         _         ^
 -----------#-----------.
 A                       B
<F+>

<R+>
 a) Quantas medianas faltam ser traadas nesse tringulo?  
 b) Qual  o nome do ponto onde se cruzam as medianas de um tringulo?  
<R->

<R+>
8. No tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`] foram traadas suas alturas relativas. 
<P>
 a) Como podemos classificar o tringulo {a{b{c em relao aos ngulos internos? 
 b) No encontro dos segmentos ^c?{a{d*, ^c?{b{e* e ^c?{c{f* marcou-se um ponto O. Que nome recebe esse ponto?  
<R->
<F->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafio
<R+>
 9. Considere um tringulo equiltero {a{b{c, com baricentro G e mediana ^c?{c{f*. Sabendo que ^c?{a{f*  igual a 5 cm, determine o permetro do tringulo. 
<R->
<231>
<R+>
 10. No tringulo {a{b{c, determine a medida dos ngulos :?{a{c{d* e :?{c{b{d*, sendo ^c?{c{d* a altura do tringulo. 
<R->
<P>
<F->
         C
         
        _^
        _  ^
        _50}^
        _      ^       
        _        ^
        _          ^      
   65} _            ^              
 -------#--------------u   
A      D             B
<F+>

<R+>
11. Associe as fichas verdes s fichas amarelas, escrevendo a letra e o smbolo romano correspondentes. 
<R->

_`[{fichas verdes_`]

 A: mediana
 B: incentro
 C: circuncentro
 D: altura
 E: bissetriz
 F: ortocentro
 G: baricentro 
 H: mediatriz

_`[{fichas amarelas_`]

<R+>
I) Reta que intercepta um dos lados de um tringulo, em seu ponto mdio, sendo perpendicular a esse lado. 
 II) Segmento de reta que liga o vrtice de um tringulo ao ponto mdio do lado oposto. 
 III) Ponto de encontro das alturas de um tringulo. 
 IV) Segmento de reta que liga um vrtice do tringulo ao lado oposto, dividindo o ngulo interno desse vrtice em dois ngulos congruentes. 
 V) Ponto de encontro das medianas de um tringulo. 
 VI) Segmento de reta com uma extremidade em um dos vrtices do tringulo e perpendicular ao lado oposto ou ao prolongamento dele.
 VII) Ponto de encontro das bissetrizes internas de um tringulo.
 VIII) Ponto de encontro das mediatrizes de um tringulo. 
<R->
<R+>
12. (UFMG-MG) Nessa figura, _`[no adaptada_`] {a{b={b{d={d{e e ^c?{b{d*  bissetriz de :?{e{b{c*. A medida de :?{a{e{b*, em graus : 
<R->
 a) 96 
 b) 100 
 c) 104 
 d) 108 
 e) 110 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
13. Escreva em seu caderno quais dos quadrilteros a seguir so paralelogramos.
<R->
<F->

      D             C
      ccccccccccccccm
      115}   65} 
                  
                 
   65}   115} 
 --------------
A             B

 H
 l
 l ^ 
 l   ^
 l72} ^
 l       ^ G
 l    108}^
 l          _
 l          _ 
 l          _
 r::    !::
 l_-_    l_-_
 h::j::::h::j
 E        F

     Q             P
     ccccccccccccccm
     108}   72} 
                 
   72}   108} 
 --------------
N             O
<P>
     M           L        
     ccccccccccccc
     115}   117} 
                    
   65}         65} 
 ---------------------u
 I      7 m         J     

 U        T
 !::::::!::
 l_-_    l_-_
 r::j    h::w
 l          _
 l          _
 l          _
 l          _
 l          _
 r::    !::w
 l_-_    l_-_
 h::j::::h::j     
 R        S
<F+>

<R+>
 Desafio
 14. As medidas dos ngulos internos de um paralelogramo so dadas por *u* e 2u. Sabendo que os ngulos opostos so congruentes, determine as medidas dos ngulos internos do paralelogramo. 
<R->
<R+>
 15. As imagens _`[no adaptadas_`] representam a planificao de duas formas geomtricas espaciais. Quais so elas?  
 Classifique, quanto  quantidade de lados, os polgonos que compem essas planificaes. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<232>
<R+>
16. Calcule as medidas dos ngulos internos dos trapzios issceles. 
<R->

<F->
      D    C
      cccccc
             
              
               
   78}         
 ----------------u
A                B
<P>
      H    G
      cccccc
      99}   
              
               
                
 ----------------u
E                F
<F->

<R+>
17. No caderno, classifique cada quadriltero representado a seguir em paralelogramo, trapzio, retngulo, quadrado ou losango.
<R->
a)
<F->
            2,5 cm
        !::::::::!::
        l_-_      l_-_
        r::j      h::w
        l            _
2,5 cm l            _
        l            _
        l            _
        r::      !::w
        l_-_      l_-_
        h::j::::::h::j 
<P>
b)
         
        _
        _ 
        _   
        _   
        _    
     !::w     
     l_-_      
 <::::h::w:::::::>  
        _      
        _     
        _     
        _   
        _  
        _ 
        _
         ^

c)
     cccccccccccccm
            57} 
                
   57}        
 -------------
<P>
d)

 !::::::::::!::
 l_-_        l_-_
 r::j        h::w
 l              _
 l              _
 l              _
 r::        !::w
 l_-_        l_-_
 h::j::::::::h::j    
    
e)

 pccccccccc
 l_-_         
 r::j           
 l             
 l              
 l               
 r::             
 l_-_              
 v--#---------------u
<F+>

<R+>
18. De acordo com o trapzio, responda s questes a seguir. 
<R->
<P>
<F->
      D     C
      ccccccc
              
               
                
                 
 -----------------u
A                 B
<F+>

<R+>
a) Qual lado corresponde  base menor? E  base maior? 
 b) Quais so os lados no-paralelos? 
 c) Quais so os ngulos da base menor? E os da base maior?
<R->

<R+>
19. Classifique no caderno cada trapzio a seguir em retngulo, issceles ou escaleno. 
<R->
<P>
a)

<F->
 pccccccccc
 l_-_         
 r::j           
 l             
 l              
 l               
 r::             
 l_-_              
 v--#---------------u

b)
      ccccccc
              
               
                
                 
 -----------------u

c)

  cccccccccccccm
              
             
            
      -----
<P>
d)
        ^cccccc
      ^         
    ^            
  ^               
 ------------------u 
<F+>

<R+>
20. Determine a medida de cada ngulo interno dos seguintes paralelogramos. 
<R->

<F->
 D             C
 !:::::::::::::::
 l x+3}   x-3} _ 
 l               _
 l               _
 l               _
 l               _
 l               _
 h:::::::::::::::j
 A             B
<P>
      H           G
      cccccccccccccm
      x+16}      
                 
                
   x-6}       
 -------------
 E           F
<F+>

<R+>
_`[{para as atividades 21 e 22, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
 Desafio
 21. Calcule as medidas *x* e *y* dos ngulos indicados no paralelogramo _`[no adaptado_`].
<R->

<R+>
22. (FUVEST-SP) Na figura _`[no adaptada_`] {a{b={a{c, {b{x={b{y e {c{z={c{y. 
Se o ngulo :?{e{a* mede 40}, ento o ngulo :?{x{y{z* mede: 
<R->
 a) 40} 
 b) 50} 
 c) 60}
 d) 70}  
 e) 90} 

<233>
Lendo textos

Astrnomos desenham tringulos no 
  cu 

  Como os astrnomos medem a distncia em anos-luz entre as estrelas e a Terra? 
   simples, juram os especialistas. "Primeiro observamos o astro com um telescpio. 
A luz que ele emite  como uma reta e o prprio instrumento mede o ngulo 
entre essa linha e a Terra", diz o astrnomo Thyrso Villela, do Instituto Nacional de 
Pesquisas Espaciais (Inpe), em So Jos dos Campos, So Paulo. Seis meses depois, 
repete-se a operao. A, a Terra vai estar do outro lado do Sol, ou seja, no extremo 
oposto de sua rbita, e, por isso, o ngulo ser diferente. Juntando as duas retas e 
a linha que representa o deslocamento da Terra entre os dois momentos,  possvel 
desenhar um tringulo (veja o infogrfico a seguir). Como o dimetro da rbita terrestre 
 conhecido, o astrnomo pode us-lo para deduzir o tamanho dos outros 
lados da figura geomtrica e, assim, descobrir a distncia entre a estrela e o nosso 
planeta. A medida  feita em anos-luz -- o espao percorrido pela luz, no vcuo, 
durante um ano. Como a luz corre a 300.000 quilmetros por segundo, 1 ano-luz d 
9,5 trilhes de quilmetros. Usado desde 1838, o mtodo tem margem de erro de 
10%, o que  considerado muito pouco pelos astrnomos. 

_`[{infogrfico adaptado_`]
<R+>
 Legenda:
 1: Representa a posio da Terra em janeiro.
 2: Representa a posio da Terra em julho.
 3: Representa o Sol.
<P>
 4: Representa uma Estrela.
 : Representa a distncia da estrela em janeiro.
 y: Representa a distncia da estrela em julho.
<R->

Rgua no cu
  Telescpios e geometria calculam a posio dos astros.

<F->
           4
           
            
             
              y
               
                
                 
 1 j::::::o::::::h 2
           3
<F+>

<R+>
 1- Os cientistas apontam um telescpio em direo 
 luz emitida pela estrela e traam uma reta imaginria 
entre ela e a Terra. Assim podem calcular 
o 
<P>
  ngulo formado por essa reta e a rbita terrestre. 
 2- Seis meses depois,  feita nova medio, que encontra um ngulo diferente, pois o planeta 
  est na outra ponta da sua rbita. Com isso, forma-se um tringulo. 
 3- Como se conhece o dimetro da rbita terrestre (300 milhes de quilmetros), que  a base do tringulo, 
e dois ngulos, pode-se deduzir o tamanho dos outros lados do tringulo, que so as distncias da estrela nos dois momentos. 
 4- Como as distncias (os lados maiores do tringulo) so enormes, usa-se como medida o ano- -luz (9,5 trilhes de quil- metros). 
O dimetro da rbita da Terra corresponde a cerca de 17 minutos-luz e a estrela mais 
<P>
  perto (Proxima Centauri) est a 4,3 anos-luz. 
<R->

<R+>
SUPERINTERESSANTE. So Paulo: Abril, ano 12, n.o 12, dez. 1998. p. 33. 
<R->

<R+>
a) Se a primeira observao da estrela for feita em abril, quando dever ser feita a segunda? 
Nessa situao, quais sero os lados do tringulo imaginrio? 
 b) Classifique no caderno o tringulo imaginrio quanto s medidas dos lados. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo
             
Fim da Stima Parte

